Fondamenti della meccanica atomica
Si verifica poi immediatamente il teorema di ortogonalità poichè, per , si ha
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difatti, se si moltiplicano i due membri della (31) per (dove r è uno qualunque degli indici 1, 2,...) e si integrano fra r e b, al secondo membro si
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La funzione Δy/Δω tende a O, come si vede, per (il che si può interpretare dicendo che le infinite funzioni sinusoidali, che in essa sono sovrapposte
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(1) Il limite si riferisce al caso che l'intervallo sia infinito da entrambe le parti: altrimenti si legga solo + [simbolo eliminato] , o [simbolo
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L'integrale rispetto a k si può ottenere osservando che la (67), per la (58), si può scrivere
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Poichè v si suppone noto, la vx resta determinata con la stessa esattezza con cui si ha la dalla (106), la quale esattezza dipende dalla precisione
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Si manda nella direzione dell'asse x della luce di frequenza nota v: si raccoglie poi in uno spettroscopio la radiazione diffusa dalla particella nel
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(cioè il massimo si sposta con la velocità , come già si sapeva): inoltre, la precisione non è più ma data dalla (172), che, per la (163'), si può
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La distribuzione della probabilità dell'impulso si ottiene osservando che la (179') si può scrivere
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La discussione dell'equazione (183') si può fare nel modo seguente. Si osservi anzitutto che i suoi coefficienti sono finiti per tutti i valori
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Ora si può dimostrare facilmente che in generale queste due serie hanno per delle singolarità essenziali: solo nel caso che uno dei coefficienti, p
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indicando con b l'insieme delle quantità indipendenti da X. Sostituendo i valori che intervengono nei casi pratici, si trova che risulta almeno
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La condizione che P sia finita in tutto l'intervallo considerato è poi certo soddisfatta se uno dei coefficienti, p. es., si annulla (senza che si
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Polinomi generalizzati di Laguerre. - Se si deriva l'equazione (277), si ottiene
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Si osservi ora che l'equazione (264') cui soddisfa si identifica con l'equazione (281) dei polinomi generalizzati di Laguerre, purchè si prenda
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Il fattore si determina con la condizione di normalizzazione (252): si trova
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Tenendo poi presente che ognuna delle funzioni , si scinde nel prodotto di tre fattori , si vede che ognuno degli integrali tripli (287) si scinde
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In modo analogo si ricava la regola di selezione pel quanto azimutale l dalla considerazione degli integrali rispetto a : il calcolo è però alquanto
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Come si vede, si ottengono per Y due espressioni (che indicheremo con ed ) a seconda che nel primo termine si prende : una di esse si ottiene
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E poichè, come si è visto, una delle si identifica con l'energia E del sistema, si può riguardare questa come una funzione delle f costanti J, e
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Se si considera poi che i e psono normali al piano dell'orbita, e diretti (come si vede facilmente) in senso opposto, si può anche scrivere la
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Se per h, m, c si pongono i loro valori numerici, si trova
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si dice che è il reciproco o l'inverso di , e viceversa, e si scrive
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dove le fn sono le componenti di f, e la somma si intende estesa da 1 all' (come si sottintenderà anche nelle formule successive). Applicando
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Questa si chiama matrice unità e si indica con 1 }.
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Se ora per v si sostituisce l'espressione ricavata dalla (7), si ha, con facili trasformazioni
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Se poi le osservabili X, Y sono compatibili, il loro prodotto simmetrizzato si identifica col prodotto XY o YX. Se invece sono incompatibili, non si
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Questa formula si può trasformare, poichè dalla (114) si ha che : inoltre essendo e una costante, si ha
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Alla derivata G definita dalla (118), o meglio al differenziale , si può dare un'interpretazione espressiva con la considerazione seguente. Si
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Essendo l' hamiltoniana della forma , si possono applicare le (111), (112) e si trova cosi
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(indicando con Fi le componenti della forza). Se tra queste si elimina pi si ha
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La funzione , che rappresenta l'effetto della perturbazione su , si potrà poi sviluppare in serie mediante le autofunzioni imperturbate (che formano
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e similmente per : inoltre si ricordi la seconda delle (182) e si tenga conto della (202); si ottiene allora
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Ora si badi che, per la (190), la (205') si scrive:
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e si trova così il risultato (175). Per si ricava invece
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Prima di esporre la teoria di Dirac, mostriamo a quale equazione per la si giungerebbe se, applicando il principio del § 22, si partisse
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Se si considera trascurabile il primo termine a causa del fattore , si ha l'approssimazione non relativistica
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Questo operatore dunque si può considerare come l'operatore hamiltoniano della teoria di Dirac. Si noti che dalla (273) si ricaverebbe, con lo stesso
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Tenendo conto dell'ultima di queste, si vede che nelle prime due delle equazioni (272) si elimina il termine della prima parentesi, mentre nelle
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In questa sommatoria doppia, i sei termini in cui si possono riunire due a due nel modo seguente. Si considerino p. es. i due termini : in virtù
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Si osservi ora che nel caso attuale l'hamiltoniano si riduce (v. form. (274)) a
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Sostituendo nelle (334) e procedendo come poc'anzi, si trova che, se si prende
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Dalla (18) si vede subito perchè le frequenze emesse dall'atomo si presentino come differenze di «termini spettrali», ed in pari tempo si riconosce
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(con che, si noti, τn risulta positivo), si ottiene
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L'esperienza, eseguita per la prima volta sul vapore di mercurio, si fa nel modo seguente: in un pallone di quarzo, accuratamente vuotato d'aria, si
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Ora si osservi che, chiamando D la distanza tra le intersezioni dei due piani reticolari con la superficie ss (che è una costante del cristallo, nota
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e si determina di nuovo la distribuzione: e così via, finchè si trova una tensione, per la quale si presenta un massimo in una determinata direzione
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e si verifica immediatamente che Q = P', sicchè l'equazione si può scrivere
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Si verifica immediatamente che l'insieme dei due primi termini è la derivata esatta di P (), cosicchè, se si moltiplica tutta l'equazione per dx e si
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Si può esservare che la (15) è ancora soddisfatta se si moltiplica la y per una costante complessa di modulo 1 (cioè per un fattore della forma ): la
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Accademia della crusca
